Question

19．已知命题p：?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，命题q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；
（2）若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）p是真命题，?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，可得k≥x+$\frac{1}{x}$-1．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，利用导数研究其单调性即可得出．
（2）命题q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，则9-2k＞k＞0，解得k范围．由p且q为假命题，p或q为真命题，可得p与q必然一真一假．

解答 解：（1）p是真命题，?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，∴k≥x+$\frac{1}{x}$-1．
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，则f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，
∴f（x）的最大值为2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
∴k≥$\frac{3}{2}$，
即实数k的取值范围是$[\frac{3}{2}，+∞）$．
（2）命题q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，则9-2k＞k＞0，解得0＜k＜3．
∵p且q为假命题，p或q为真命题，∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≥\frac{3}{2}}\\{k≤0或k≥3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{3}{2}}\\{0＜k＜3}\end{array}\right.$，
解得k≥3或$0＜k＜\frac{3}{2}$．
∴实数k的取值范围是$（0，\frac{3}{2}）$∪[3，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性最值、椭圆的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．