Question

6．设函数f（x）=|2x+3|+|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若存在$x∈[{-\frac{3}{2}，1}]$使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））_min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{x+4，-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{3x+2，x＞1}\end{array}\right.$    …（2分）
∴f（x）＞4?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-2＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{x+4＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x+2＞4}\end{array}\right.$ …（4分）
?x＜-2或0＜x≤1或x＞1   …（5分）
综上所述，不等式的解集为：（-∞，-2）∪（0，+∞） …（6分）
（Ⅱ）若存在$x∈[{-\frac{3}{2}，1}]$使不等式a+1＞f（x）成立
?a+1＞（f（x））_min…（7分）
由（Ⅰ）知，$x∈[{-\frac{3}{2}，1}]$时，f（x）=x+4，
∴x=-$\frac{3}{2}$时，（f（x））_min=$\frac{5}{2}$   …（8分）
a+1＞$\frac{5}{2}$?a＞$\frac{3}{2}$ …（9分）
∴实数a的取值范围为（$\frac{3}{2}$，+∞） …（10分）．

点评 本题考察了绝对值不等式的解法，考察转化思想，是一道中档题．