Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，其前n项和为S_n．若S_n+1=2S_n+1，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S_n+1}，求出其通项公式后，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∵S₁+1=a₁+1=3≠0，
∴

Sn+1+1

Sn+1

=2．
∴数列{S_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴S_n+1=3•2^n-1，
∴S_n=3•2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3•2^n-1-1-3•2^n-2+1=3•2^n-2（n≥2），
n=1时，a₁=2不满足上式，
∴an=

2    n=1 3•2n-2  n≥2

．
故答案为：

2    n=1 3•2n-2  n≥2

．

点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．