Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）将a=2代入，f（x）=x²（x-2），方程变为x²（x-2）=x，整理解方程即可；
（Ⅱ）对f（x）求导，讨论

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a与区间的位置关系，明确区间的单调性，进一步求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，a=2时，f（x）=x为x²（x-2）=x整理得x（x²-2x-1）=0，所以x=0或x²-2x-1=0，解得x=±

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+1，
所以当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合为{0，

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+1，-

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+1}；
（Ⅱ）由已知，f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

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a），因为x∈[1，2]，
所以当

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a＜1，即x＞

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a时，f′（x）＞0，在[1，2]是增函数，此时最小值为f（1）=1-a；
当

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a＞2，即x＜

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a时，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]是减函数，此时最小值为f（2）=8-4a；
当1≤

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a≤2时，f（x）在[1，

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a]上单调递减，在[

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a，2]上单调递增，所以最小值为f（

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a）=-

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a3．

点评：本题考查了通过求导求三次函数在闭区间的最值求法；关键是正确讨论参数．