Question

8．如图，四边形ABCD是梯形．四边形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，且∠AED=45°，AE=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$CD，连接AF，求三棱锥M-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）当M是AE线段的中点时，连接CE，交DF于N，连接MN，推导出MN∥AC，由此能证明AC∥平面DMF．
（2）由V_M-ADF=V_F-MDA，能求出三棱锥M-ADF的体积．

解答 解：（1）当M是AE线段的中点时，AC∥平面DMF，证明如下：
连接CE，交DF于N，连接MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMN，又AC?平面DMF，
所以AC∥平面DMF．
（2）∵∠AED=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∴AD=DE=1，DC=2，
V_M-ADF=V_F-MDA，S_△MDA=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，h=CD=2，
∴三棱锥M-ADF的体积V_M-ADF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×2$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．