Question

3．在平面内，定点A，B，C，D满足|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值为$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意可设D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），利用坐标运算求出$\overrightarrow{BM}$以及${\overrightarrow{BM}}^{2}$的最大值即可．

解答 解：平面内，|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
可设D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可设P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=${（\frac{3+cosθ}{2}）}^{2}$+${（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，
当且仅当sin（$\frac{π}{6}$-θ）=1时取等号，
∴|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值为$\frac{49}{4}$．
故答案为：$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查了平面向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质以及三角函数求值问题，是综合题．