Question

18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+1）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于9平方米，即可求得DN的取值范围．
（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答 解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+1）米，
∵$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，∴|AM|=$\frac{2（x+1）}{x}$，∴S_矩形AMPN=|AN|•|AM|=$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$．
由S_矩形AMPN＞9得$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$＞9，又x＞0得2x²-5x+2＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2…（6分）
即DN的长的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．（单位：米）
（2）因为x＞0，所以矩形花坛的面积为：
y=$\frac{2（x+1）^{2}}{x}$=2x+$\frac{4}{x}$+4≥4+4=8，当且仅当2x=$\frac{4}{x}$，即x=1时，等号成立．…（12分）
答：矩形花坛的面积最小为8平方米．…（13分）

点评 本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．