Question

18．直线ax+by+c=0与圆O：x²+y²=16相交于两点M、N，若c²=a²+b²，P为圆O上任意一点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范围是[-6，10]．

Answer 1

分析 取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt△AON中，得到cos∠AON=$\frac{1}{4}$，得cos∠MON=-$\frac{7}{8}$，最后根据向量数量积的公式即可算出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=2-8cos∠AOP，考虑$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．

解答 解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，
∵c²=a²+b²，
∴O点到直线MN的距离OA=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
x²+y²=16的半径r=4，
∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ=$\frac{OA}{ON}$=$\frac{1}{4}$，
cos∠MON=cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{1}{8}$-1=-$\frac{7}{8}$，
由此可得，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cos∠MON
=4×4×（-$\frac{7}{8}$）=-14，
则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）
=-14+16-2$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=2-2|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠AOP=2-8cos∠AOP，
当$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$同向时，取得最小值且为2-8=-6，
当$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$反向时，取得最大值且为2+8=10．
则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范围是[-6.10]．
故答案为：[-6.10]．

点评 本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中档题．