题目内容

18．$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为三个非零向量，则①对空间任一向量$\overrightarrow p$，存在唯一实数组（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$；②若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$；③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；④$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$，以上说法一定成立的个数（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 ①利用空间向量基本定理可判断①对空间任一向量$\overrightarrow p$，存在唯一实数组（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$错误；
②利用非零向量共线的性质可判断②若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$正确；
③利用向量的数量积的运算性质可判断③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow c$错误；
④$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$错误．

解答 解：因为$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为三个非零向量，所以，
对于①，当$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为三个非零共面向量时，对空间任一向量$\overrightarrow p$，不存在唯一实数组（x，y，z），使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，故①错误；
对于②，∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为三个非零向量，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$，故②正确；
对于③，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，则$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）$=0，即$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$），而不是$\overrightarrow a=\overrightarrow c$，故③错误；
对于④，$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）•\overrightarrow c=\overrightarrow a•（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$不一定成立，等号左端为$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）$倍的$\overrightarrow{c}$，等号右端为$（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$倍的$\overrightarrow{a}$，而$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不一定共线，故④错误．
综上所述，以上说法一定成立的个数为1个，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量基本定理、向量数量积的运算性质，属于中档题．

练习册系列答案
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