Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长都是4，E是CC₁的中点．
（1）求证：截面EA₁B⊥面ABB₁A；
（2）求截面EA₁B的面积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设A₁B∩AB₁=Q，连结EQ．由已知条件推导出EQ⊥AB₁．EQ⊥A₁B．从而得到EQ⊥平面ABB₁A₁．由此能证明平面EA₁B⊥平面ABB₁A₁．
（2）由（1）可知△A₁BE是等腰三角形，以A₁B为底边，EQ为高，可以求其面积．

解答： （1）证明：设A₁B∩AB₁=Q，连结EQ．

∵E是CC₁的中点，∴BE=A₁E，
又Q是A₁B₁中点，∴EQ⊥A₁B，
同理可证EQ⊥AB₁．∴EQ⊥平面ABB₁A₁．
又EQ?平面EA₁B，
∴平面EA₁B⊥平面ABB₁A₁．
（2）由（1）可知△A₁BE是等腰三角形，并且A₁B=

2

AB=4

2

，A₁E=BE=2

5

，所以EQ=2

3

，截面EA₁B的面积为

1

2

A1B×EQ=

1

2

×4

2

×2

3

=4

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，正三棱柱的性质的运用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．