Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-a•lnx（a∈R），g（x）=x²-2mx+4（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求实数a与b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）当a=1时，若对任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由f′(2)=2-

a

2

=1求得a值，得到函数解析式，进一步求得f（2），由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出f（x）的定义域，再求出函数导函数，分a≤0，和a＞0讨论求得函数的单调区间；
（Ⅲ）把对任意的x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）转化为x∈[1，2]时，f（x）_min≥g（x）_min．然后分m＜1，1≤m≤2，m＞2讨论求解m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

2

x²-a•lnx，得f′(x)=x-

a

x

，
由f′(2)=2-

a

2

=1，得a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx，则f（2）=2-2ln2，
即切点为（2，2-2ln2），代入方程yx+b得，b=-2ln2；
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

，
①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）无减区间；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜

a

，此时，f（x）减区间为(0，

a

)；
（Ⅲ）由题意可得x∈[1，2]时，f（x）_min≥g（x）_min．
∵a=1时，f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

＞0，f（x）在x∈[1，2]为增函数，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，
g（x）=x²-2mx+4=（x-m）²+4-m²．
①当m＜1时，g（x）在区间[1，2]上递增，∴g(x)min=g(1)=5-2m≤

1

2

，
由5-2m≤

1

2

，解得m≥

9

4

，舍去；
②当1≤m≤2时，g(x)min=g(m)=4-m2≤

1

2

，解得m≤-

14

2

或m≥

14

2

，
∴

14

2

≤m≤2；
③当m＞2时，g（x）在区间[1，2]上递减，∴g(x)min=g(2)=8-4m≤

1

2

，
由8-4m≤

1

2

，解得m≥

15

8

，∴m＞2．
综上，m≥

14

2

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．