Question

19．已知O为坐标原点，F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM与y轴交点为N，且$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据椭圆的几何性质，由PF⊥x轴设M（-c，t），
写出直线AM的方程，求出AM与y轴的交点E的坐标；
再写出直线BM的方程，求出BM与y轴的交点N的坐标；
根据$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$列出方程求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），
且A（-a，0），B（a，0）；
由PF⊥x轴，不妨设M（-c，t），（t≠0）；
则直线AM的方程为$\frac{y}{t}$=$\frac{x+a}{-c+a}$，
令x=0，得y=$\frac{at}{a-c}$，
∴直线AM与y轴的交点为E（0，$\frac{at}{a-c}$）；
又直线BM的方程为$\frac{y}{t}$=$\frac{x-a}{-c-a}$，
令x=0，得y=$\frac{at}{a+c}$，
∴直线BM与y轴的交点为N（0，$\frac{at}{a+c}$）；
又$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$，
∴$\frac{at}{a-c}$=$\frac{3at}{a+c}$，
化简得a=2c，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
则曲线C的离心率为$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了椭圆离心率的计算问题，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解题的关键．