Question

10．已知数列{a_n}与[b_n}满足a_n+1=3a_n，b_n=b_n+1-1，b₆=a₁=3，若（2λ-1）a_n＞36b_n，对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 化简条件式求出a_n和b_n的通项公式求出，代入条件式得出λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．利用数列的单调性得出右侧数列的最大值即可得出λ的范围．

解答 解：∵a_n+1=3a_n，b_n=b_n+1-1，b₆=a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，b_n=b₆+（n-6）=3+n-6=n-3，
∵（2λ-1）a_n＞36b_n，
∴2λ-1＞$\frac{36（n-3）}{{3}^{n}}$，
∴λ＞$\frac{{3}^{n}+36（n-3）}{2×{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，
令c_n═$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，
∵$\frac{18（n-2）}{{3}^{n+1}}$-$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$=$\frac{18（7-2n）}{{3}^{n+1}}$，
∴当n≥5，{c_n}单调递减，当1＜n≤4时，{c_n}单调递增，
∴当n=4时c_n取得最大值c₄=$\frac{1}{2}+$$\frac{18×（4-3）}{{3}^{4}}$=$\frac{13}{18}$，
∴λ＞$\frac{13}{18}$，
故答案为：（$\frac{13}{18}$，+∞）

点评 本题考查了数列的递推公式，数列通项的求法，数列最值的计算，属于中档题．