Question

1．数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{（{n+1}）（{n{a_n}+1}）}}（{n∈{N^*}}）$，若不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$恒成立，则实数t的取值范围是[-$\frac{15}{2}$，+∞）．．

Answer 1

分析 由题意可知，两边取倒数可得：则$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1•{a}_{1}}$=2，
数列{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出a_n．不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$化为：t≥-（n+$\frac{3}{n}$+4）．再利用基本不等式的性质即可得出实数t的取值范围．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）n{a}_{n}+（n+1）}{n{a}_{n}}$=（n+1）+$\frac{n+1}{n{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1•{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∵不等式$\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n}+t{a_n}≥0$化为：t≥-（n+$\frac{3}{n}$+4）．
∵n+$\frac{3}{n}$+4≥2$\sqrt{n×\frac{3}{n}}$+4=4+2$\sqrt{3}$，当且仅当n=$\frac{3}{n}$时取等号，
由n∈N*，则当n=2时，n+$\frac{3}{n}$+4取最小，最小值为$\frac{15}{2}$
∴t≥-$\frac{15}{2}$，
故答案为：[-$\frac{15}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．