Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-y²=4有相同的右焦点F₂，点P是椭圆C₁与双曲线C₂在第一象限的公共点，若|PF₂|=2，则椭圆C₁的离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C₁的离心率

解答 解：由题意，不妨设P在第一象限，
由双曲线C₂：x²-y²=4的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，则|PF₁|-|PF₂|=4，c=2$\sqrt{2}$
∵|PF₂|=2，∴|PF₁|=6，
∴2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-y²=4有相同的右焦点F₂，c=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C₁的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．