Question

10．已知（$\sqrt{2}$+1）^m=$\sqrt{2}$x_m+y_m，其中m，x_m，y_m∈N^*．
（1）求证：y_m为奇数；
（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=[$\sqrt{2}$n]，求证：存在{a_n}的无穷子数列{b_n}，使得对任意的正整数n，均有b_n除以4的余数为1．

Answer 1

分析 （1）根据条件得（$\sqrt{2}$+1）^m+1=$\sqrt{2}$（x_m+y_m）+（2x_m+y_m），判断y_m+1与y_m同奇偶，进行判断即可．
（2）由二项式定理得（$\sqrt{2}$-1）^m=$\sqrt{2}$x_m-y_m，建立方程组进行转化求解证明即可．

解答 证明：（1）∵（$\sqrt{2}$+1）^m=$\sqrt{2}$x_m+y_m，
∴（$\sqrt{2}$+1）^m+1=（$\sqrt{2}$x_m+y_m）（$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{2}$（x_m+y_m）+（2x_m+y_m）
得y_m+1=2x_m+y_m，即y_m+1与y_m同奇偶，
而当m=1时，y₁为奇数；
∴y_m为奇数；
（2）由二项式定理得（$\sqrt{2}$-1）^m=$\sqrt{2}$x_m-y_m，
则2x_m²-y_m²=1，即2x_m²=y_m²+1＞y_m²，
∴y_m⁴＜2x_m²y_m²=y_m²（y_m²+1）＜（y_m²+1）²，
从而有y_m²＜$\sqrt{2}$x_my_m＜y_m²+1，
令n=x_my_m，则b_n=[$\sqrt{2}$n]=[$\sqrt{2}$x_my_m]=y_m²，
由（1）知y_m为奇数，
∴b_n除以4的余数为1．

点评 本题主要考查二项式定理的综合应用，考查学生的转化能力，综合性较强，难度较大．