Question

18．如图1，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=2a，AA′=a．
（1）E为棱CC′上任一点，求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）若E为CC′的中点，P为D′C′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）E为棱CC′上任一点，根据面面垂直的判定定理证明BD⊥平面ACC′A′即可证明平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出向量的夹角即可求出二面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC′⊥平面ABCD，∴BD⊥CC′．
∵CC′∩AC=C，CC′，AC?平面ACC′A′，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∵BD?平面BDE，
∴平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）如图，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则D（0，0，0），B（2a，2a，0），$E（0，2a，\frac{1}{2}a）$，P（0，a，a），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{DB}=（2a，2a，0）$，$\overrightarrow{DE}=（0，2a，\frac{1}{2}a）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{4y+z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=4，
∴$\overrightarrow m=（1，-1，4）$，
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y+z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=1，∴$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
二面角P-BD-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法解二面角是解决本题的关键．