Question

已知双曲线T：x²-

y2

4

=1
（1）过点P（1，-1）能否作双曲线T的弦AB，使得点P为弦AB的中点？
（2）我们称横、纵坐标都为整数的点为格点，试求出所有格点M的集合，使得过M任意弦，都不以M为中点．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）假设P为弦AB的中点，则设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），运用中点坐标公式和点在双曲线上，满足双曲线方程，运用作差，结合两点的斜率公式，求出斜率，得到弦的方程，代入双曲线方程，得到二次方程，检验判别式是否大于0，即可判断；
（2）设以M（m，n）为中点的弦的方程为y-n=k（x-m），代入双曲线的方程，运用两根之和，结合中点坐标公式，即可得到，kn=4m，当k为任意的实数时，有m=n=0，进而得到所求格点M的集合．

解答： 解：（1）假设P为弦AB的中点，则设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，①4x₁²-y₁²=4，②4x₂²-y₂²=4，③
③-②，得4（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
代入①，得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-4，
则有AB：y+1=-4（x-1），即为y=-4x+3，
代入双曲线方程，可得12x²-24x+13=0，
由于判别式为24²-4×12×13=-48＜0，
则方程无实数解，
则这样的弦AB不存在；
（2）设以M（m，n）为中点的弦的方程为y-n=k（x-m），
即为y=kx+n-km，
代入双曲线方程，消去y，得，（4-k²）x²-2k（n-km）x-（n-km）²-4=0，
设弦的端点的坐标为（x₃，y₃），（x₄，y₄）
则x₃+x₄=

2k(n-km)

4-k2

，
由中点坐标公式可得，

2k(n-km)

4-k2

=2m，
化简得，kn=4m，
当k为任意的实数时，有m=n=0，
即有过（0，0）的任意弦，都以M为中点，
则点M满足集合{（x，y）|x≠0或y≠0，且x∈Z，y∈Z}，
使得过M任意弦，都不以M为中点．

点评：本题考查双曲线的方程和运用，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查求中点弦问题常用的点差法，考查运算能力，属于中档题和易错题．