Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AD=1，AB=2，点F在PB上，且AF=PF=FB=

2

，面PAB⊥面ABCD，点E在BC上．
（1）确定点E的位置，使EF∥平面PAC；
（2）在（1）的条件上，求几何体PADCEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据F是PB中点，可得结论；
（2）证明PA⊥面ABCD，利用几何体PADCEF的体积等于棱锥P-ABCD的体积-棱锥F-AEB的体积，即可求解．

解答： 解：（1）点E是BC中点时，
在△PBC中，EF∥PC，PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（6分）
（2）由AF=PF=FB=

2

，
∴△PAB是直角三角形其中PA⊥AB．（8分）
又AB=2，∴△PAB是等腰直角三角形，故PA=2．
又面PAB⊥面ABCD，交线AB，而PA⊥AB
∴PA⊥面ABCD．（10分）
∴棱锥P-ABCD的高为PA=2，底面ABCD面积S=2
故棱锥P-ABCD的体积为

1

3

×2×2=

4

3

，
同理，棱锥F-AEB的体积

1

3

×

1

2

×1=

1

6

，
故所求V=

4

3

-

1

6

=

7

6

．（12分）

点评：本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确分割是关键．