Question

已知函数f（x）=

x2+ax+4

x

（x＞0）．
（1）求证：函数f（x）在[2，+∞）单调递增；
（2）A={x|x²-5x+4＜0}，B={x|f（x）＜2}，若B⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,利用导数研究函数的单调性

专题：不等式的解法及应用,集合

分析：（1）根据函数f（x）的解析式，求出函数的导函数，根据当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，得到函数f（x）在[2，+∞）单调递增；
（2）解不等式求出集合A，B，根据集合子集的定义，结合B⊆A分类讨论满足条件的a的取值范围．

解答： 证明：（1）∵f（x）=

x2+ax+4

x

（x＞0）．
∴f′（x）=

x2-4

x2

，
当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）在[2，+∞）单调递增；
（2）∵A={x|x²-5x+4＜0}=（1，4），
f（x）＜2，即x²+（a-2）x+4＜0，
当△=（a-2）²-16＜0，
即-2＜a＜6时，B=∅，满足B⊆A，
当△=（a-2）²-16≥0，
即a≤-2或a≥6时，B≠∅，
令h（x）=x²+（a-2）x+4，
若B⊆A，则

h(1)≥0 h(4)≥0 △=(a-2)2-16≥0 1≤ 2-a 2 ≤4

解得-3≤a≤-2，
综上所述a的取值范围为[-3，6）

点评：本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用，利用导数研究函数的单调性，是函数图象与性质，不等式与集合的综合应用，难度中档．