题目内容

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、B1B的中点．
（1）求直线CM与A1C1所成角的正弦值；
（2）求直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值．
考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：（1）连接A1C1、AC，由已知条件推导出四边形ACC1A1为平行四边形，∠MCA即为直线CM与A1C1所成角的平面角，由此能求出直线CM与A1C1所成角的正弦值．
（2）连结A1N，由已知条件推导出∠D1NA1就是D1N与平面A1ABB1所成角的平面角，由此能求出直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值．
解答： 解：（1）连接A1C1、AC
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1=CC1
∴四边形ACC1A1为平行四边形…（2分）
∴A1C1∥AC
则∠MCA即为直线CM与A1C1所成角的平面角…（4分）
∴sin∠MCA=
MA
MA2+AC2
=
1
3
，
∴直线CM与A1C1所成角的正弦值为
1
3
．…（6分）
（2）连结A1N，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
D1A1⊥平面A1ABB1，…（8分）
∴∠D1NA1就是D1N与平面A1ABB1所成角的平面角，…（10分）
∴tan∠D1NA1=
A1D1
A1N
=
2
5
5
．
∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的正切值为
2
5
5
．…（12分）
点评：本题考查直线与直线所成角的正弦值的求法，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AD=1，AB=2，点F在PB上，且AF=PF=FB=
2
，面PAB⊥面ABCD，点E在BC上．
（1）确定点E的位置，使EF∥平面PAC；
（2）在（1）的条件上，求几何体PADCEF的体积．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A1MC1，求
CE
EB
；
（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
设函数f（x）=（2-a）lnx+
1
x
+2ax，g（x）=ax+
1
x
+（3-a）lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=0时，求g（x）的极值；
（Ⅱ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），（x2，y2）．如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x0，y0）（其中x0=
x1+x2
2
）总能使得F（x1）-F（x2）=F′（x0）（x1-x2）成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数F（x）=f（x）-g（x）是否具备性质“L”，并说明理由．
倾斜角为钝角的直线L过点（1，1），点（4，2）到直线L的距离为
5
，
（Ⅰ）求直线L的方程；
（Ⅱ）是否存在实数m使圆x2+y2+x-6y+m=0和直线L交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），若存在，求m的值．若不存在说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），D（1，0），过椭圆C的焦点F（
2
，0）且垂直于1x轴的直线与椭圆交于A，B两点，
OA
•
OB
=
5
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D的直线与椭圆C交于M，N两点，若
MD
=2
DN
，求直线MN的方程；
（Ⅲ）设直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，若
DP
•
DQ
=0，求k的值．
已知函数f（x）=2sin（πx+φ）（φ∈（0，π）的一条对称轴为x=
1
6
．
（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）与x轴在原点右侧的交点横坐标从左到右组成一个数列{an}，求数列{
1
anan+1
}的前n项和Sn．
设向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|=1，且|2
a
-
b
|=
5
．
（1）求|
2a
-
3b
|的值；        
（2）求3
a
-
b
与
a
-2
b
夹角θ．
四女生与两男生排成一队，女生甲与两男生至少一个相邻的排法种数为
 
．

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