Question

已知a＞0且a≠1，设命题p：对数函数y=log_ax在R⁺上单调递减，命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用指数函数的单调性可得P：0＜a＜1．由于曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，可得△＞0，得到q．由于“p∨q”为真，且“p∧q”为假，可得p真q假，或p假q真．即可得出．

解答： 解：∵y=a^x+1单调递减，∴P：0＜a＜1．
∵曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点
∴△=（2a-3）²-4＞0，
∴q：a＞

5

2

或a＜

1

2

．
∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假，
∴p真q假，或p假q真．
当p真q假时，{

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

得，

1

2

≤a＜1，
当p假q真时，{

a＞1 a＞ 5 2 或a＜ 1 2

得，a＞

5

2

∴

1

2

≤a＜1或a＞

5

2

点评：本题考查了指数函数的单调性、二次函数与x轴的交点与判别式的关系、复合命题的真假判断，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．