Question

3．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展开式中，只有第六项的二项式系数最大
（1）求该展开式中常数项；
（2）求展开式中系数最大的项为第几项？

Answer 1

分析 （1）由二项式系数的性质可得$\frac{n}{2}$+1=6，求得n，再由通项公式，化简，可令x的指数为0，求得r，进而得到所求常数项；
（2）设第r+1项系数最大，由 第r+1项系数不小于第r项系数，且不小于第r+2项系数，得到r的方程组，运用组合数公式，解方程可得r的范围，求得整数解即可．

解答 解：（1）由题意知$\frac{n}{2}+1=6∴n=10$，
${T_{r+1}}=C_{10}^r{2^r}{x^{\frac{10-5r}{2}}}（0≤r≤10且r∈{N^*}）$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，可得r=2，
所以当r=2时为常数项${T_3}=C_{10}^2{2^2}=180$；
（2）设第r+1项系数最大，
由 第r+1项系数不小于第r项系数，且不小于第r+2项系数，
则$\left\{\begin{array}{l}C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r-1}{2^{r-1}}\\ C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r+1}{2^{r+1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{11-r}\\ \frac{1}{10-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$，
因为r∈N^*所以r=7．
即第8项系数最大．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项，注意运用通项公式，同时考查二项式系数的性质，以及最大项系数的特点，考查运算能力，属于中档题．