Question

18．设{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n+1）a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设q为等比数列{a_n}的公比，q＞0，
∵a₁=2，a₃=a₂+4．
∴2q²=2q+4，即q²-q-2=0，解得q=2或-1（舍去），
因此q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）（2n+1）a_n=（2n+1）•2ⁿ．
∴S_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2S_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=3×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=6+2×$\frac{4×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴${S_n}=（2n-1）•{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．