Question

16．下列函数中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的有②③．
①y=${x}^{\frac{1}{2}}$；②y=2^x；③y=x²；④y=lgx．

Answer 1

分析 在①中，对于（0，1）的任意两个不同的x₁，x₂，都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），在②和③中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）；在④y=lgx中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

解答 解：在①y=${x}^{\frac{1}{2}}$中，对于（0，1）的任意两个不同的x₁，x₂，
都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，故①不成立；
在②y=2^x中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，
都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$＞$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，故②成立；
在③y=x²中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，
都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$，故③成立；
在④y=lgx中，对于定义域内的任意两个不同的x₁，x₂，
都满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$=lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$lg\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，故④不成立．
故答案为：②③．

点评 本题考查满足条件的函数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．