Question

19．若函数y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$，且0≤x≤2π，则y的范围是[1，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$]．

Answer 1

分析 由题意可得sinx≥0，cosx≤0，$\frac{π}{2}$≤x≤π，x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，可得-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，求得y²的范围围，可得y的范围．

解答 解：∵函数y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$≥0，且0≤x≤2π，则由题意可得sinx≥0，cosx≤0，
∴$\frac{π}{2}$≤x≤π，x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
∵y²=sinx-cosx+2$\sqrt{-sinxcosx}$，令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，∴y²=t+2$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=t+$\sqrt{{2t}^{2}-2}$，显然函数y²在[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
故当t=1时，函数y²取得最小值为1，当t=$\sqrt{2}$时，函数y²取得最大值为2+$\sqrt{2}$．
即y²取的范围是[1，2+$\sqrt{2}$]，故函数y的范围是[1，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．