Question

18．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球体积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积．

解答 解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}×3×A{A}_{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AA₁=2，∴OD=1
又在正三角形ABC中，AB=$\sqrt{3}$，则AD=1，
∴在直角三角形ADO中，OA²=OD²+AD²有r²=1²+1²，
∴r=$\sqrt{2}$，
则这个三棱柱的外接球的体积为V=$\frac{4π}{3}$×r³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

点评 本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．