Question

15．已知命题p：函数f（x）=（a²-1）x²-2（a-1）x+3的图象全在x轴上方，命题q：关于x方程x²-ax+a+3=0的两根均为负根，若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由二次函数和二次方程的知识分类讨论分别可得pq为真时a的范围，再由复合命题的真假分类讨论由集合的运算可得．

解答 解：当a²-1=0，即a=1或a=-1时，若a=1则f（x）=3，满足图象全在x轴上方；
当a=-1时，f（x）=4x+3不满足图象全在x轴上方；
当a≠1且a≠-1时，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=4（a-1）^{2}-12（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1或a＜-2
综合可得当p为真命题时，a≥1或a＜-2；
∵关于x方程x²-ax+a+3=0的两根x₁，x₂均为负根，
∴△=a²-4（a+3）≥0，x₁+x₂=-$\frac{-a}{1}$＜0且x₁x₂=$\frac{3}{1}$＞0，
解得a≤-2；
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴p、q一真一假，
当p真q假时，可得a的范围为{a|a≥1或a＜-2}∩{a|a＞-2}={a|a≥1}，
当p假q真时，可得a的范围为{a|-2≤a＜1}∩{a|a≤-2}={a|a=-2}，
综上可得a的取值范围为：{a|a≥1或a=-2}，

点评 本题考查复合命题的真假，涉及二次函数的知识和分类讨论的思想，属中档题．