Question

一艘轮船在航行中的燃料费Q（元）和它的速度x（公里/小时）的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．
（1）求此轮船在航行中的燃料费Q关于它的速度x的函数关系式；
（2）问轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和y最小？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,基本不等式

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）由轮船的速度为x，比例系数为k，（k＞0），得出每小时的燃料费Q=kx³，求出k的值即可；
（2）求出费用总和y的解析式，对y求导，求出函数y取得极小值（即最小值）时x的值．

解答： 解：：（1）∵轮船的速度为x，比例系数为k，（k＞0），
∴每小时的燃料费为Q=kx³；
又∵x=10时，kx³=6，
解得k=

3

500

；
∴燃料费Q=

3

500

x³（x＞0）；
（2）轮船行驶每公里的费用总和为
y=（

3

500

x³+96）÷x=

3

500

x²+

96

x

；
对y求导，得y′=

6

500

x-

96

x2

，
令y'=0，得v=20；
∴当0＜x＜20时，y'＜0，函数y单调递减；
当x＞20时，y'＞0，函数y单调递增；
∴x=20时，函数y取得极小值，即为最小值．
∴轮船每小时行驶20公里时，驶每公里的费用总和最小．

点评：本题考查了应用函数解决实际问题的例子，解题时应根据题意，建立函数的解析式，利用解析式求出问题的答案来，是中档题．