Question

10．e为自然对数的底数，定义函数shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，若已知函数f（x）为奇函数，且满足f（1）=ch1，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞shx．则f（x）＜$\frac{chx}{x}$的解集为（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 通过分析所给不等式，构造新的函数．确定新函数的奇偶性，以及单调性，由对称关系，从而得到解集．

解答 解：∵令g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x），
在x＞0时，g′（x）＞shx＞0，
∴g（x）在x＞0时单调递增，
且∵g（-x）=g（x），
∴g（x）为偶函数．
∴g（x）在（-∞，0）单调递减．
∵要求f（x）＜$\frac{chx}{x}$的解集，
∴即要求①x＞0时，g（x）＜chx和②x＜0时，g（x）＞chx的解集
∵y=chx也为偶函数，所以只需看①即可，②可由对称所得．
∵g′（x）＞（chx）′=shx＞0，
∴g（x）的增长速度快于chx，
∵g（1）=f（1）=ch1，
∴x∈（0，1），
∴由①，②得x∈（-1，0）∪（0，1），
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查构造新函数的能力以及导函数与奇偶性相结合的问题．