Question

1．如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=4，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． -45
• B． 13
• C． -13
• D． -37

Answer 1

分析 先用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$，再根据$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，再根据$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=4求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值，最后将$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值代入$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$，从而得出答案．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$
∵$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$）
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$
整理可得：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=4
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-12
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-12-25=-37．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．