Question

18．已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是非零向量且满足（$\overrightarrow{a}$-6$\overline{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 根据向量垂直的充要条件便可得出$（\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0，（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=0$，进行数量积的运算，并整理即可得到$|\overrightarrow{a}|=6|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞①$，$3|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞②$，这样两式联立即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件：$（\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∵$|\overrightarrow{a}|≠0，|\overrightarrow{b}|≠0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=6|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞①$，$3|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞②$；
∴$3|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=12|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|co{s}^{2}＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴$co{s}^{2}＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{4}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念，已知三角函数求角的方法．