Question

15．函数f（x）的图象是如图所示，线段0AB，其中A（1，2），B（3，0）．函数g（x）=x•f（x），那么函数g（x）的值域为（　　）

• A． [0，2]
• B． .[0，$\frac{9}{4}$]
• C． [0，$\frac{3}{2}$]
• D． [0，4]

Answer 1

分析 根据函数f（x）的图象，可利用待定系数法求出其解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤1}\\{-x+3}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$，从而得到g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}}&{0≤x≤1}\\{-{x}^{2}+3x}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$，这样在每一段里根据二次函数值域的求法求出g（x）的范围，这两个范围求并集即可得出函数g（x）的值域．

解答 解：OA和AB所对应的函数为一次函数；
对于OA这一段：设其函数为y=kx+b，（0，0），（1，2）都在该函数图象上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=b}\\{2=k+b}\end{array}\right.$；
∴k=2，b=0；
∴y=2x，0≤x≤1；
同理可求出AB段所对应的函数解析式为y=-x+3，1＜x≤3；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤1}\\{-x+3}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$；
∴$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}}&{0≤x≤1}\\{-{x}^{2}+3x}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$；
∴①0≤x≤1时，0≤2x²≤2；
即此时，0≤g（x）≤2；
②1＜x≤3时，$-{x}^{2}+3x=-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}≤\frac{9}{4}$；
又x=3时，-x²+3x在（1，3]上取到最小值0；
∴此时$0≤g（x）≤\frac{9}{4}$；
∴综上得函数g（x）的值域为$[0，\frac{9}{4}]$．
故选B．

点评 考查函数值域的概念，由分段函数的图象求分段函数的方法，配方求二次函数值域的方法，以及分段函数值域的求法．