Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x³+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(-1)+f(-

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)+…+f(

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)+f(1)=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=x³+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=4，再利用倒序相加，即可得到结论

解答： 解：∵f（x）=x³+sinx+2，
∴f^'（x）=3x²+cosx，f^''（x）=6x-sinx，
∴f^''（0）=0，
而f（x）+f（-x）=x³+sinx+2+-x³-sinx+2=4，
函数f（x）=x³+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），
即x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=4，
∴f(-1)+f(-

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)+…+f(

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)+f(1)
=20×4+f（0）
=82．
故答案为：82．

点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=4，是解题的关键．