Question

若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意，画出图形，分析底面边长是正三角形时构成三棱锥的情况，底面边长不是正三角形的情况，求出x的取值范围．

解答： 解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，
有以下两种情况：
①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，
此时x应满足：∵AD=

3

2

，SD=

x2-( 1 2 )2

，且SD＜SA+AD，
∴

x2-( 1 2 )2

＜1+

3

2

，
即x²＜2+

3

，
∴

1

2

＜x＜

6 + 2

2

；
②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，
此时应满足0＜x＜

2

；
综上，x的取值范围是（0，

6 + 2

2

）．
故答案为：（0，

6 + 2

2

）．

点评：本题考查了空间想象能力与灵活运用知识解决数学问题的能力，解题时应分析底面边长是正三角形与底面边长不是正三角形的情况，是较难的题目．