题目内容

已知
a
=（1，4），
b
=（m，n），且m＞0，n＞0，若
a
•
b
=9，则
1
m
+
1
n
的最小值为
 
．
考点：平面向量数量积坐标表示的应用,基本不等式
专题：函数的性质及应用,平面向量及应用
分析：根据数量积求出m、n的关系，再基本不等式即可求最小值．
解答： 解：∵
a
=（1，4），
b
=（m，n），且m＞0，n＞0，
∴
a
•
b
=m+4n=9，
∴m=9-4n，其中0＜n＜
9
4
；
∴
1
m
+
1
n
=
1
9-4n
+
1
n
=
9-3n
9n-4n2
，
设y=
9-3n
9n-4n2
，
∴y′=
-3(9n-4n2)-(9-3n)(9-8n)
(9n-4n2)2
，
令-3（9n-4n2）-（9-3n）（9-8n）=0，
整理，得4n2-24n+27=0，
解得n=
3
2
，或n=
9
2
（不满足题意，舍去）；
∴当n=
3
2
时，y取得最小值是
1
9-4×
3
2
+
1
3
2
=
1
3
+
2
3
=1；
故答案为：1．
点评：本题考查了平面向量的数量积的应用以及求函数最小值的问题，是易错题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
a
x
+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）-
1
2b
x2-x（b∈R且b≠0），求h（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）-f（x2）＜lnx2-lnx1成立，求实数a的取值范围．
已知a∈R且a＞-1，函数f(x)=x3-
3
2
(3-a)x2+6(1-a)x，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）g（a）为函数f（x）在[-1，3]上的最小值，求g（a）的解析式．
已知集合A={x|x=1+a2，a∈R}，B={y|y=a2-4a+5，a∈R}，则集合A与B的关系为
 
．
函数f(x)=
2+x
-
1-x
的值域为
 
．
正方形ABCD的边长为2，
DE
=2
EC
，
DF
=
1
2
（
DC
+
DB
），则
BE
•
DF
=
 
．
若向量
a
，
b
满足|
a
|=1，|
b
|=2，且
a
与
b
的夹角为
π
3
，则|2
a
+
b
|=
 
．
若f（x）=2cosα-sinx，则f′（α）等于（　　）
A、-sinα
B、-cosα
C、-2sinα-cosα
D、-3cosα
设f（x）是R上的偶函数，在区间（-∞，0）上是增函数，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2-2a+1），求实数a的取值范围．

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