Question

已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x²＋y²＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.

(1)求椭圆方程；

(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点，证明：·为定值．

Answer 1

解　(1)化圆的标准方程为(x＋1)²＋y²＝1，

则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.

又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.

故所求椭圆的方程为＋y²＝1.

(2)①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.

可求得

此时，·＝＝－.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

因为·＝＋y₁y₂

＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋²＋k(x₁＋1)·k(x₂＋1)

＝(1＋k²)x₁x₂＋ (x₁＋x₂)＋k²＋

＝(1＋k²)·＋k²＋

＝＋＝－2＋＝－.

所以，·为定值，且定值为－.