题目内容
1．已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是$x=\frac{π}{3}$，其图象上一条对称轴方程为$x=-\frac{π}{6}$，则当ω取最小值时，下列说法正确的是①③．（填写所有正确说法的序号）①当$x∈[-\frac{4π}{3}，-\frac{π}{6}]$时，函数f（x）单调递增；
②当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{3}]$时，函数f（x）单调递减；
③函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{12}，-1）$对称；
④函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{-4π}{3}$对称．
分析 根据函数f（x）的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，得出f（$\frac{π}{3}$）=0，再根据直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，得出-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），再根据正弦函数的图象与性质进行判断．
解答 解：函数f（x）=2sin（ωx-φ）-1的一个零点是x=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）-1=0，
∴sin（$\frac{π}{3}$ω-φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{π}{3}$ω-φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又直线x=-$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴-$\frac{π}{6}$ω-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
又ω＞0，|φ|＜π，
∴ω的最小值是$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{11π}{18}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）-1；
当x∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]时，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[-$\frac{5π}{18}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）在[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{6}$]上单调递增，故①正确；
当x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]时，$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$∈[$\frac{π}{18}$，$\frac{31π}{18}$]，
∴f（x）在[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]上不单调，故②错误；
当x=$\frac{7π}{12}$时，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sinπ=0，故③正确；
当$x=\frac{-4π}{3}$时，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{11π}{18}$）=sin（-$\frac{5π}{18}$）≠±1，故④错误．y
故答案为：①③．
点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，正弦函数的性质，属于中档题．
| A． | ?x∈R，f（x）≠f（x+T） | B． | ?x∈R，f（x）≠f（x+T） | C． | ?x∈R，f（x）=f（x+T） | D． | ?x∈R，f（x）=f（x+T） |
| A． | ?α∈R，使得sin2α+cos2α=1 | B． | ?α∈R，使得sin2α+cos2α≠1 | ||
| C． | ?α∈R，使得sin2α+cos2α=1 | D． | ?α∈R，使得sin2α+cos2α≠1 |
如图，H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点，且PH=$\frac{1}{2}$HC，点G在AH上，AG=mAH．四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，则实数m等于（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{4}{3}$P，D | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
| A． | 1 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -1 | D． | $-\frac{1}{2}$ |