Question

14．若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与曲线f（x）=alnx相切．
（1）若切点横坐标为2，求a，b；
（2）当a＞0时，求实数b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），求出a的值，根据f（2）=ln2，求出b的值；
（2）设切点的横坐标，表示出b的表达式，构造函数g（x）=xlnx+x（ln2-1），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=alnx，f′（x）=$\frac{a}{x}$，f′（2）=$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=1----------------2 分
f（2）=ln2，由ln2=1+b得：b=ln2-1---------------------5 分
（2）设切点的横坐标为x₀，f′（x₀）=$\frac{a}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$，x₀=2a---------------------6 分
$\frac{1}{2}$x₀+b=alnx₀，a+b=aln2a，b=-a+aln2a=alna+a（ln2-1）（a＞0）--------------8 分
设g（x）=xlnx+x（ln2-1），g′（x）=lnx+ln2，
令g′（x）=lnx+ln2=0，即x=$\frac{1}{2}$，
0＜x＜$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，x＞$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴b_min=-$\frac{1}{2}$-----------------------12 分

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．