Question

9．已知x＞0，y＞0，z＞0，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，则下面对a，b，c三个数的判断中，正确的判断是（　　）

• A． 至少有一个不小于2
• B． 都小于2
• C． 至少有一个不大于2
• D． 都大于2

Answer 1

分析 假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出矛盾．

解答 解：假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，
∵x，y，z均大于0，
∴a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c至少有一个不小于2．
故选：A．

点评 本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．