Question

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=lnx+

a

x

，（a＞0）．
（1）求函数g（x）的极值；
（2）已知x₁＞0，函数h（x）=

f(x)-f(x1)

x-x1

，x∈（x₁，+∞），判断并证明h（x）的单调性；
（3）设0＜x₁＜x₂，试比较f(

x1+x2

2

)与

1

2

[f(x1)+f(x2)]，并加以证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，从而确定函数的单调性及极值；
（2）先判断h（x）在（x₁，+∞）上是增函数，再求导证明；
（3）由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函数，从而令x=

x1+x2

2

求得．

解答： 解：（1）g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令g'（x）=0，得x=a．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；
当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
∴当x=a时，g（x）有极小值lna+1，g（x）无极大值．
（2）h（x）在（x₁，+∞）上是增函数，证明如下，
h′(x)=

f′(x)(x-x1)-f(x)+f(x1)

(x-x1)2

=

(1- 1 x )(x-x1)-x+lnx+x1-lnx1

(x-x1)2

=

x1 x +lnx-1-lnx1

(x-x1)2

，
由（1）知φ(x)=

x1

x

+lnx在[x₁，+∞）上是增函数，
当x∈（x₁，+∞）时，φ（x）＞φ（x₁），
即

x1

x

+lnx＞1+lnx1，
∴h'（x）＞0，
即h（x）在（x₁，+∞）上是增函数．
（3）0＜x₁＜x＜x₂，由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函数，
则

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x)-f(x1)

x-x1

，
令x=

x1+x2

2

得，
f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．