Question

15．已知定义在（0，+∞）的函数f（x），其导函数为f′（x），满足：f（x）＞0且$\frac{2x+3}{x}＞-\frac{{{f^'}（x）}}{f（x）}$总成立，则下列不等式成立的是（　　）

• A． e^2e+3f（e）＜e^2ππ³f（π）
• B． e^2e+3f（π）＞e^2ππ³f（e）
• C． e^2e+3f（π）＜e^2ππ³f（e）
• D． e^2e+3f（e）＞e^2ππ³f（π）

Answer 1

分析 令g（x）=e^2xx³f（x），g′（x）=）=e^2xx²[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，⇒g（x）=e^2xx³f（x）在（0，+∞）上单调递增⇒g（e）＜g（π），即可得到．

解答 解：∵f（x）＞0且$\frac{2x+3}{x}＞-\frac{{{f^'}（x）}}{f（x）}$总成立，∴（2x+3）f（x）+xf′（x）＞0．
令g（x）=e^2xx³f（x），g′（x）=）=e^2xx²[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，
∴g（x）=e^2xx³f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（e）＜g（π），
∴e^2e+3f（e）＜e^2ππ³f（π），故选：A．

点评 本题考查了构造新函数，处理不等式问题，属于压轴题．