Question

函数f（x）=

1

4x+m

（m＞0），x₁，x₂∈R，当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（log₂（x-1）-1）＞f（log

1

2

（x-1）-

3

2

）．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f(x1)+f(x2)=

1

2

得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，代入x₁+x₂=1化简可得4x1+4x2=2-m或2-m=0；从而解m；
（2）由（1）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，故不等式f(log2(x-1)-1)＞f(log

1

2

(x-1)-

3

2

)可化为

log2(x-1)-1＜log 1 2 (x-1)- 3 2 x-1＞0

，从而解得．

解答： 解：（1）由f(x1)+f(x2)=

1

2

得，

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，
∴4x1+4x2+2m=

1

2

[4x1+x2+m(4x1+4x2)+m2]，
∵x₁+x₂=1，
∴(2-m)(4x1+4x2)=(m-2)2，
∴4x1+4x2=2-m或2-m=0；
∵4x1+4x2≥2

4x1•4x2

=2

4x1+x2

=4，
而m＞0时2-m＜2，
∴4x1+4x2≠2-m，
∴m=2．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
由f(log2(x-1)-1)＞f(log

1

2

(x-1)-

3

2

)得，

log2(x-1)-1＜log 1 2 (x-1)- 3 2 x-1＞0

，
∴1＜x＜1+

4 8

2

，
∴不等式的解集为{x|1＜x＜1+

4 8

2

}．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．