Question

10．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面$ρ≤4cos（θ-\frac{π}{6}）$的公共点，求$μ=\sqrt{3}x+y$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C的极坐标方程转化为${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，由此能求出圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）由圆C的方程转化为${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$，得到圆C的圆心是$（\sqrt{3}，1）$，半径是2，将$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$u=\sqrt{3}x+y$，得u=4-t，由此能求出$u=\sqrt{3}x+y$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为圆C的极坐标方程为$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$
所以圆C的直角坐标方程${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-2y=0$．
（Ⅱ）由圆C的方程${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-2y=0$，可得${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$，
所以圆C的圆心是$（\sqrt{3}，1）$，半径是2，
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$u=\sqrt{3}x+y$，得u=4-t，
又直线l过$C（\sqrt{3}，1）$，圆C的半径是2，所以-2≤t≤2，
即$u=\sqrt{3}x+y$的取值范围是[2，6]．

点评 本题考查圆的直角坐标的求法，考查代数式的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．