Question

18．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知要使四边形PACB面积最小，则P为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，
直线3x+4y+8=0与圆x²+y²-2x+2y+1=0相离，
化圆x²+y²-2x+2y+1=0为（x-1）²+（y+1）²=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．
连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，
则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．
∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，
|PC|=$\frac{|3×1+4×（-1）+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{7}{5}$，
∴|PA|=$\sqrt{（\frac{7}{5}）^{2}-{1}^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴四边形PACB面积的最小值为2×$\frac{1}{2}×1×\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．