Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和参数方程；
（Ⅱ）设l与曲线C交于A，B两点，求线段|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的参数方程．
（Ⅱ）把代入$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入（x-2）²+（y-3）²=9，得t²-2（cosα+2sinα）t-4=0，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=2（cosα+2sinα），t₁t₂=-4，|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|，由此能求出|AB|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0，
所以曲线C的普通方程为x²+y²-4x-6y+4=0，
即（x-2）²+（y-3）²=9，
所以曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．
（Ⅱ）把代入$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入（x-2）²+（y-3）²=9，
并整理得t²-2（cosα+2sinα）t-4=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
所以t₁+t₂=2（cosα+2sinα），t₁t₂=-4，
所以|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|
=$\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{（cosα+2sinα）}^2}+16}$=$\sqrt{4（1+4sinαcosα+3{{sin}^2}α）+16}$
=$\sqrt{4（1+2sin2α+3×\frac{1-cos2α}{2}）+16}$=$\sqrt{10（\frac{4}{5}sin2α-\frac{3}{5}cos2α）+26}$，
设$cosφ=\frac{4}{5}$，$sinφ=\frac{3}{5}$，
∴$|AB|=\sqrt{10sin（2α-φ）+26}$，
∵-1≤sin（2α-φ）≤1，∴16≤10sin（2α-φ）+26≤3，∴4≤|AB|≤6，
∴|AB|的取值范围为[4，6]．

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．