Question

用数学归纳法证明：

2

3

•

4

5

•

6

7

…

2n

2n+1

＜

1

n+1

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明，①易证当n=1时，原不等式成立，②假设当n=k时，不等式成立，去推证当n=k+1时，原不等式也成立即可（注意利用好归纳假设）．

解答： 证明：①∵当n=1时，

4

9

-

1

2

=-

1

18

＜0，
∴

4

9

＜

1

2

，∴

2

3

＜

1

2

=

1

1+1

，即n=1时，不等式成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即

2

3

•

4

5

•

6

7

•…•

2k

2k+1

＜

1

k+1

．
则当n=k+1时，

2

3

•

4

5

•

6

7

•…•

2k

2k+1

•

2(k+1)

2(k+1)+1

＜

1

k+1

•

2(k+1)

2(k+1)+1

=

2 k+1

2k+3

，
∵（

2 k+1

2k+3

）²-（

1

(k+1)+1

）²=

4(k+1)(k+2)-(2k+3)2

(2k+3)2(k+2)

=

-1

(2k+3)2(k+2)

＜0，
∴（

2 k+1

2k+3

）²＜（

1

(k+1)+1

）²，
∴

2 k+1

2k+3

＜

1

(k+1)+1

，即n=k+1时，原不等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N^*，

2

3

•

4

5

•

6

7

…

2n

2n+1

＜

1

n+1

．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查数学归纳法的应用，当n=k+1时，证明

2 k+1

2k+3

＜

1

(k+1)+1

是难点，考查分析、推理与证明的能力，属于中档题．