Question

已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，-3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而且满足x12+x22=

21

2

x₁
x₂，求直线L的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x-4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；
（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），
∵直线3x-4y+9=0与圆M相切
∴

|3a+9|

32+(-4)2

=3．
解得a=2，或a=-8（舍去），
所以圆的方程为：（x-2）²+y²=9----------------------------------（4分）
（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，

5

），B（0，-

5

），
此时x12+x22=

21

2

x₁x₂=0，所以x=0符合题意-------------------------（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，
由

y=kx-3 (x-2)2+y2=9

消去y，得（x-2）²+（kx-3）²=9，
整理得：（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0-----------（1）
所以x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

4

1+k2

由已知x12+x22=

21

2

x1x2得：(x1+x2)2=

25

2

x1x2，(

4+6k

1+k2

)2=

25

2

×

4

1+k2

整理得：7k²-24k+17=0，∴k=1，

17

7

-----------------------（10分）
把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）²-16（1+k²）=48k+20k²中，
判别式的值都为正数，所以k=1，

17

7

，所以直线L为：y=x-3，y=

17

7

x-3，
即x-y-3=0，17x-7y-21=0
综上：直线L为：x-y-3=0，17x-7y-21=0，x=0---------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档．