Question

11．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	a=30	b
捐款不超过500元	c	d=6
合计

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值表参考公式：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）求得各组区间的中点值，计算各个矩形的面积之和即可每户居民的平均损失；
（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有15户；损失超过8000元的居民共有3户，因此，ξ可能取值为0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，由期望公式计算即可得到；
（3）由（2）可得a，b，c，d，运用临界值参考公式，求出K²，与临界值比较，即可有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．

解答 解：（1）记每户居民的平均损失为$\overline x$元，
则$\overline x$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（4分）
（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，
损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，
因此，ξ的可能值为0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

数学期望E（ξ），$E（ξ）=0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$…（8分）
（3）解得b=9，c=5，a+b=39，c+d=11，a+c=35，b+d=15，a+b+c+d=50，
${K^2}=\frac{{50×{{（{30×6-9×5}）}^2}}}{39×11×35×15}=4.046＞3.841$，
所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关…12元

点评 本题考查根据频率分布直方图求均值，以及随机分布的概率和期望的计算，考查独立性检验的概率情况，考查运算能力，属于中档题．