Question

1．已知函数f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），则f（x）的值域为[5，9]．

Answer 1

分析 由基本不等式便可得出x=2时，f（x）≥5，再根据f（x）在[0，3]上的单调性，从而得出f（x）在[0，3]上的最小、最大值，从而得出f（x）的值域．

解答 解：根据函数f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），
可得f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$-1≥6-1=5，
当且仅当x=2时，取等号．
又f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
又f（0）=9，f（3）=$\frac{21}{4}$；
∴f（x）在[0，3]上的最小值为5，最大值为9；
∴f（x）的值域为[5，9]．
故答案为：[5，9]．

点评 本题主要考查基本不等式在求函数最小值中的运用，应用基本不等式注意判断等号能否取到，函数值域的概念，根据函数单调性求函数值域的方法，要熟悉函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性，属于基础题．